スキルアップのために、事業会社側もしくはプライムのSIerに転職がしたいのですが、なかなか書類選考が通りません…

まずは得意とする開発分野、言語、経験したプロジェクト規模やスキルレベルなどを伺わせていただかないと何とも言えませんが、
転職の動機が「SESでは一貫したスキルを身に付けにくい」で、転職希望先はなぜビッグネームを希望するのでしょうか？

また、リーダーやマネジメントを希望せずに年収を上げていきたい場合は、専門性とエンジニアスキルを上げていきたいところですが、資格取得や自己啓発、その他自助努力はされていらっしゃるでしょうか？

年収を上げて有名企業に入りたいと希望する方はたくさんいらっしゃいますが、叶わないパターンも少なくありません。
まずは転職で外せない条件の優先順位を考えてキャリアパスを描いてみてはいかがでしょうか。
（例えば、会社規模、安定性、将来性、年収、スキル、カルチャーマッチ、ワークライフバランスなど）

転職動機にあるとおり、まずは一貫したスキルを身に着けたいのでしたら有名企業に関わらず、個人のスキルアップを考えてプロジェクトにアサインすることを考えてくださる企業はたくさんあります。
さらに、ご自身の希望だけではなく、企業にどんな価値提供ができるかも併せて意識して考えたいところですね。

実際に転職希望者とお話をしてみると、希望する会社とのカルチャーギャップや、ご自身で思っていたよりも高いレベルを求められていることに気付き、軌道修正して転職活動をした結果、自分にあった会社に巡り合うことがありますので、先入観なしにフラットな目線でいろんな会社とお話しされてみることをお勧めします。

転職は求人要件とのマッチ度が高いほうが通りやすいことに加え、企業の求めている人物像や経歴、経験など、求人票に記載されていない状況なども勘案されますので、一度転職コンサルタントに相談してみてください。